फलन f: (-infty, infty) rightarrow (-infty, in | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$.अंश और हर को $2^x$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$ प्राप्त होता

Vedclass · Accepted Answer

एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$.अंश और हर को $2^x$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$ प्राप्त होता है।इसे हम $f(x) = \frac{(2^{2x} + 1) - 2}{2^{2x} + 1} = 1 - \frac{2}{2^{2x} + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।एकैकी (one-one) की जाँच के लिए,हम अवकलन ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - 2(2^{2x} + 1)^{-1}) = 0 - 2(-1)(2^{2x} + 1)^{-2} \cdot (2^{2x} \cdot \ln 2 \cdot 2) = \frac{4 \cdot 2^{2x} \cdot \ln 2}{(2^{2x} + 1)^2}$.चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एकैकी है।आच्छादक (onto) की जाँच के लिए,हम परिसर ज्ञात करते हैं: जैसे $x \rightarrow -\infty$,$2^{2x} \rightarrow 0$,इसलिए $f(x) \rightarrow 1 - \frac{2}{0+1} = -1$। जैसे $x \rightarrow \infty$,$2^{2x} \rightarrow \infty$,इसलिए $f(x) \rightarrow 1 - 0 = 1$।$f(x)$ का परिसर $(-1, 1)$ है।चूँकि परिसर $(-1, 1)$ सह-प्रांत $(-\infty, \infty)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।अतः,फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

फलन $f: (-\infty, \infty) \rightarrow (-\infty, \infty)$ जो $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है,वह है :

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मान लीजिए $R = \{ a, b, c, d, e \}$ और $S = \{1, 2, 3, 4\}$ है। $f: R \rightarrow S$ के कुल आच्छादक (onto) फलनों की संख्या,जहाँ $f(a) \neq 1$ है,$.............$ के बराबर है।

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