यदि f: R rightarrow R को f(x)=2x+sin x, x in | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + \sin x$ है। एकैकी की जाँच करने के लिए, हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 + \cos x$। चूँकि $-1 \leq \cos x \leq 1$, इसल

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एकैकी और आच्छादक

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(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x + \sin x$ है। एकैकी की जाँच करने के लिए, हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 2 + \cos x$। चूँकि $-1 \leq \cos x \leq 1$, इसलिए $f'(x) = 2 + \cos x \geq 2 - 1 = 1 > 0$ होता है। सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ होने के कारण, फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है, जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एकैकी है। आच्छादक की जाँच करने के लिए, हम $f(x)$ का परिसर देखते हैं। जैसे $x 	o \infty$, $f(x) 	o \infty$, और जैसे $x 	o -\infty$, $f(x) 	o -\infty$। चूँकि $f(x)$ एक सतत फलन है, इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार, इसका परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है। इसलिए, $f(x)$ आच्छादक है। अतः, $f$ एकैकी और आच्छादक है।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=2x+\sin x, x \in R$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ है

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सिद्ध कीजिए कि फलन $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ जो $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी और आच्छादक फलन है।

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सिद्ध कीजिए कि एक आच्छादक फलन $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ सदैव एकैकी होता है।

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