0 leq x

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$. ધારો કે $y^2 = z$. તેથી, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$, જેન

Vedclass · Accepted Answer

$(4b^2 + 1) y^2 = 2a(\sin x + 2b \cos x) + c e^{-2bx}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$. ધારો કે $y^2 = z$. તેથી, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$, જેનો અર્થ છે કે $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dz}{dx}$. આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + bz = a \cos x$. $2$ વડે ગુણતા: $\frac{dz}{dx} + 2bz = 2a \cos x$. આ $\frac{dz}{dx} + Pz = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = 2b$ અને $Q = 2a \cos x$. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int 2b \, dx} = e^{2bx}$ છે. ઉકેલ $z \cdot IF = \int Q \cdot IF \, dx + c$ દ્વારા મળે છે. $z e^{2bx} = \int 2a \cos x \cdot e^{2bx} \, dx + c$. પ્રમાણિત સંકલન $\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ નો ઉપયોગ કરતા: $z e^{2bx} = 2a \left[ \frac{e^{2bx}}{(2b)^2 + 1^2} (2b \cos x + \sin x) \right] + c$. $y^2 e^{2bx} = \frac{2a}{4b^2 + 1} e^{2bx} (2b \cos x + \sin x) + c$. $e^{-2bx}$ વડે ગુણતા: $y^2 = \frac{2a}{4b^2 + 1} (2b \cos x + \sin x) + c e^{-2bx}$. તેથી, $(4b^2 + 1) y^2 = 2a(\sin x + 2b \cos x) + c e^{-2bx}$ મળે છે.

$0 \leq x < 1$ માટે $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$ નું વ્યાપક ઉકેલ શોધો (જ્યાં $c$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે):

Similar Questions

જો વક્ર $y = f(x)$ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય અને $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ નું સમાધાન કરે,તો $b$ ની કઈ કિંમત માટે $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$ થાય?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ (જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે) શોધો:

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}y = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ નો વ્યાપક ઉકેલ છે

$(x+2 y^3) \frac{d y}{d x}=y^2$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module