अवकल समीकरण frac{1}{x} frac{dy}{dx} = tan^{-1 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} = 	an^{-1} x$ चरों को अलग करने पर: $dy = x 	an^{-1} x dx$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y =

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$y = \frac{x^2 	an^{-1} x}{2} - \frac{1}{2}(x - 	an^{-1} x) + c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} = 	an^{-1} x$ चरों को अलग करने पर: $dy = x 	an^{-1} x dx$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y = \int x 	an^{-1} x dx$ खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = 	an^{-1} x$ और $dv = x dx$: $y = 	an^{-1} x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2} dx$ $y = \frac{x^2 	an^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$ अंश में $1$ जोड़ने और घटाने पर: $y = \frac{x^2 	an^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx$ $y = \frac{x^2 	an^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \frac{1}{1+x^2} dx ight)$ $y = \frac{x^2 	an^{-1} x}{2} - \frac{1}{2} (x - 	an^{-1} x) + c$

अवकल समीकरण $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} = \tan^{-1} x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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फलन $f(x)$ अवकल समीकरण $f^2(x) + 4f'(x)f(x) + [f'(x)]^2 = 0$ को संतुष्ट करता है। $f(x)$ के लिए व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है।

अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $y(0) = 0$ दिया गया है।

बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$ है।

यदि $y = f(x)$ एक एकदिष्ट वर्धमान फलन है, जहाँ $(\frac{dy}{dx})^2 = 6 - \frac{dy}{dx}$ और $y(0) = 5$ है, तो $y(3) = ...$

अवकल समीकरण $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{3}$ है।

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