फलन f(x) अवकल समीकरण f^2(x) + 4f'(x)f(x) + [f | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $[f'(x)]^2 + 4f(x)f'(x) + f^2(x) = 0$. माना $y = f(x)$,तो $f'(x) = \frac{dy}{dx}$. समीकरण इस प्रकार होगा: $(\frac{dy}{dx})^2

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$(B)$ और $(C)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $[f'(x)]^2 + 4f(x)f'(x) + f^2(x) = 0$. माना $y = f(x)$,तो $f'(x) = \frac{dy}{dx}$. समीकरण इस प्रकार होगा: $(\frac{dy}{dx})^2 + 4y(\frac{dy}{dx}) + y^2 = 0$. यह $\frac{dy}{dx}$ में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र $\frac{dy}{dx} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{-4y \pm \sqrt{(4y)^2 - 4(1)(y^2)}}{2(1)} = \frac{-4y \pm \sqrt{16y^2 - 4y^2}}{2} = \frac{-4y \pm \sqrt{12y^2}}{2} = \frac{-4y \pm 2\sqrt{3}y}{2} = (-2 \pm \sqrt{3})y$. स्थिति $1$: $\frac{dy}{dx} = (-2 + \sqrt{3})y$. चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (-2 + \sqrt{3}) dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y| = (-2 + \sqrt{3})x + k_1 \implies y = c_1 e^{(\sqrt{3} - 2)x}$. स्थिति $2$: $\frac{dy}{dx} = (-2 - \sqrt{3})y$. चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (-2 - \sqrt{3}) dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y| = -(2 + \sqrt{3})x + k_2 \implies y = c_2 e^{-(2 + \sqrt{3})x}$. अतः,दोनों हल मान्य हैं। इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

फलन $f(x)$ अवकल समीकरण $f^2(x) + 4f'(x)f(x) + [f'(x)]^2 = 0$ को संतुष्ट करता है। $f(x)$ के लिए व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है।

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