વિધેય f(x) એ વિકલ સમીકરણ f^2(x) + 4f'(x)f(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $[f'(x)]^2 + 4f(x)f'(x) + f^2(x) = 0$. ધારો કે $y = f(x)$,તો $f'(x) = \frac{dy}{dx}$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $(\frac{dy}{dx})^2 + 4

Vedclass · Accepted Answer

$(B)$ અને $(C)$ બંને

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $[f'(x)]^2 + 4f(x)f'(x) + f^2(x) = 0$. ધારો કે $y = f(x)$,તો $f'(x) = \frac{dy}{dx}$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $(\frac{dy}{dx})^2 + 4y(\frac{dy}{dx}) + y^2 = 0$. આ $\frac{dy}{dx}$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. દ્વિઘાત સૂત્ર $\frac{dy}{dx} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{-4y \pm \sqrt{(4y)^2 - 4(1)(y^2)}}{2(1)} = \frac{-4y \pm \sqrt{16y^2 - 4y^2}}{2} = \frac{-4y \pm \sqrt{12y^2}}{2} = \frac{-4y \pm 2\sqrt{3}y}{2} = (-2 \pm \sqrt{3})y$. કિસ્સો $1$: $\frac{dy}{dx} = (-2 + \sqrt{3})y$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (-2 + \sqrt{3}) dx$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y| = (-2 + \sqrt{3})x + k_1 \implies y = c_1 e^{(\sqrt{3} - 2)x}$. કિસ્સો $2$: $\frac{dy}{dx} = (-2 - \sqrt{3})y$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (-2 - \sqrt{3}) dx$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y| = -(2 + \sqrt{3})x + k_2 \implies y = c_2 e^{-(2 + \sqrt{3})x}$. આમ,બંને ઉકેલો માન્ય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

વિધેય $f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $f^2(x) + 4f'(x)f(x) + [f'(x)]^2 = 0$ નું સમાધાન કરે છે. $f(x)$ માટે વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $c$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

Similar Questions

સમીકરણ $(1 + x^2)\frac{dy}{dx} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(\sin^2 x + \sin 2x)}{y(2\log y + 1)}$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1) \frac{dy}{dx} + (y^2 + 1) = 0$ નો ઉકેલ . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module