अवकल समीकरण sec(x-y+1) dy = dx का व्यापक हल ज | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec(x-y+1) dy = dx$ है। माना $v = x-y+1$ है। तब,$\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = 1 -

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$x + \cot \left(\frac{x-y+1}{2}\right) = c$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec(x-y+1) dy = dx$ है। माना $v = x-y+1$ है। तब,$\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$ है। समीकरण को $\frac{dy}{dx} = \cos(x-y+1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। $v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 - \frac{dv}{dx} = \cos(v)$ प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 - \cos(v)$। चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 - \cos(v)} = dx$। सर्वसमिका $1 - \cos(v) = 2\sin^2(\frac{v}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{dv}{2\sin^2(\frac{v}{2})} = dx$ प्राप्त होता है। इसे $\frac{1}{2} \csc^2(\frac{v}{2}) dv = dx$ के रूप में सरल किया जा सकता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \csc^2(\frac{v}{2}) dv = \int dx$। $-\cot(\frac{v}{2}) = x + c$। $v = x-y+1$ का मान वापस रखने पर: $-\cot(\frac{x-y+1}{2}) = x + c$,जिसे $x + \cot(\frac{x-y+1}{2}) = c'$ (जहाँ $c' = -c$) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

अवकल समीकरण $\sec(x-y+1) dy = dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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