अवकल समीकरण (x-2y+1)dy-(3x-6y+2)dx=0 का व्याप | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-2y+1)dy - (3x-6y+2)dx = 0$ $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x-6y+2}{x-2y+1} = \frac{3(x-2y)+2}{(x-2y)+1}$ माना $v = x

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$\left|x-2y+\frac{3}{5}\right|^{2/25} \cdot e^{1/5(6x-2y)}=C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-2y+1)dy - (3x-6y+2)dx = 0$ $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x-6y+2}{x-2y+1} = \frac{3(x-2y)+2}{(x-2y)+1}$ माना $v = x-2y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$, इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dv}{dx})$. समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}(1 - \frac{dv}{dx}) = \frac{3v+2}{v+1}$ $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{6v+4}{v+1} \Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 - \frac{6v+4}{v+1} = \frac{v+1-6v-4}{v+1} = \frac{-5v-3}{v+1}$ $\int \frac{v+1}{-5v-3} dv = \int dx$ $-\frac{1}{5} \int \frac{5v+5}{5v+3} dv = x + C_1$ $-\frac{1}{5} \int \frac{(5v+3)+2}{5v+3} dv = x + C_1$ $-\frac{1}{5} [v + \frac{2}{5} \ln|5v+3|] = x + C_1$ $v = x-2y$ रखने पर: $-\frac{1}{5}(x-2y) - \frac{2}{25} \ln|5(x-2y)+3| = x + C_1$ $-\frac{2}{25} \ln|5x-10y+3| = x + \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}y + C_1 = \frac{6}{5}x - \frac{2}{5}y + C_1$ $\ln|5x-10y+3|^{-2/25} = \frac{6x-2y}{5} + C_1$ $|5x-10y+3|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot e^{C_1}$ $|5(x-2y+\frac{3}{5})|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot C_2$ $|x-2y+\frac{3}{5}|^{-2/25} = e^{\frac{6x-2y}{5}} \cdot C_3$ $\left|x-2y+\frac{3}{5}\right|^{2/25} \cdot e^{\frac{1}{5}(6x-2y)} = C$

अवकल समीकरण $(x-2y+1)dy-(3x-6y+2)dx=0$ का व्यापक हल है

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उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी ढाल किसी भी बिंदु पर $2xy$ के बराबर है और जो बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है।

$\frac{dy}{dx} = \left( \frac{y}{x} \right)^{1/3}$ का हल है

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