अवकल समीकरण (x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy क | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$. इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3-y^3}{x^2y - xy^2} = \frac{x^3-y^3}

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$y = x \log(c|x+y|)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$. इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3-y^3}{x^2y - xy^2} = \frac{x^3-y^3}{xy(x-y)}$. चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है, $y = vx$ रखने पर, $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^3 - v^3x^3}{x^2(vx) - x(v^2x^2)} = \frac{x^3(1-v^3)}{x^3(v-v^2)} = \frac{(1-v)(1+v+v^2)}{v(1-v)} = \frac{1+v+v^2}{v}$. अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v+v^2}{v} - v = \frac{1+v}{v}$. चरों को पृथक करने पर: $\frac{v}{1+v} dv = \frac{dx}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int \frac{dx}{x}$. $v - \log|1+v| = \log|x| + C$. $v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y}{x} - \log|1 + \frac{y}{x}| = \log|x| + C$. $\frac{y}{x} - \log|\frac{x+y}{x}| = \log|x| + C$. $\frac{y}{x} - (\log|x+y| - \log|x|) = \log|x| + C$. $\frac{y}{x} = \log|x+y| + C$. अतः, $y = x \log|x+y| + Cx$, जिसे $y = x \log(c|x+y|)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अवकल समीकरण $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$ का व्यापक हल है

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