अवकल समीकरण x y^{prime} = 2 x e^{-y / x} + y | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $x \frac{dy}{dx} = 2x e^{-y/x} + y$ है।$x$ से भाग देने पर, $\frac{dy}{dx} = 2e^{-y/x} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय

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$e^{y / x} = 2 \log |C x|$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण $x \frac{dy}{dx} = 2x e^{-y/x} + y$ है।$x$ से भाग देने पर, $\frac{dy}{dx} = 2e^{-y/x} + \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर:$v + x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v} + v$.दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर, $x \frac{dv}{dx} = 2e^{-v}$ प्राप्त होता है।चरों को पृथक करने पर: $e^v dv = \frac{2}{x} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^v dv = \int \frac{2}{x} dx$.$e^v = 2 \log |x| + C_1$.अचर $C_1 = 2 \log |C|$ लेने पर, $e^v = 2 \log |x| + 2 \log |C| = 2 \log |Cx|$.अतः, $e^{y/x} = 2 \log |Cx|$.इस प्रकार, सही विकल्प $D$ है.

अवकल समीकरण $x y^{\prime} = 2 x e^{-y / x} + y$ का हल है

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