$\cosh(\alpha + i\beta)$ નો કાલ્પનિક ભાગ (imaginary part) શોધો.

જો $x = -5 + 2 \sqrt{-4}$ હોય,તો $x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ ની કિંમત શોધો.

જો $z_1 = 2 - 3i$ અને સમીકરણ $z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ ના બીજ $i$,$z_1$ અને $\bar{z}_1$ હોય,તો $b + c + d =$

ધારો કે $Z$ અને $W$ એવી સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $|Z| = |W|$,અને $\text{arg } Z$ એ $Z$ નો મુખ્ય કોણાંક દર્શાવે છે.
વિધાન $1$: જો $\text{arg } Z + \text{arg } W = \pi$ હોય,તો $Z = -\overline{W}$.
વિધાન $2$: $|Z| = |W|$ નો અર્થ છે કે $\text{arg } Z - \text{arg } \overline{W} = \pi$.

જો $z_1$ અને $z_2$ એવી સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $\frac{2 z_1}{3 z_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા હોય, તો $\left|\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $z \in \mathbb{C}$ અને $i=\sqrt{-1}$. જો $a, b, c \in (0,1)$ એવા હોય કે જેથી $a^2+b^2+c^2=1$ અને $b+ic=(1+a)z$ થાય,તો $\frac{1+iz}{1-iz}=$