वह पूर्णांक n जिसके लिए mathop {lim }limits_{ | vedclass

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Question

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{(\cos x - 1)(\cos x - e^x)}{x^n}$.$x = 0$ के निकट टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$\cos x =

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$3$

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(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{(\cos x - 1)(\cos x - e^x)}{x^n}$.$x = 0$ के निकट टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$इन मानों को व्यंजक में रखने पर:$\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$$\cos x - e^x = (1 - \frac{x^2}{2} + \dots) - (1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots) = -x - x^2 + O(x^3)$अतः,अंश $(- \frac{x^2}{2} + O(x^4))(-x - x^2 + O(x^3)) = \frac{x^3}{2} + O(x^4)$ है।सीमा के परिमित और शून्येतर होने के लिए,हर में $x$ की घात,अंश में $x$ की न्यूनतम घात के बराबर होनी चाहिए।इसलिए,$n = 3$।

वह पूर्णांक $n$ जिसके लिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{(\cos x - 1)(\cos x - e^x)}{x^n}$ एक परिमित शून्येतर संख्या है,वह है

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यदि $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}} \frac{[\sin x]-[\cos x]+1}{2}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 x = $

फलन $f(x)$ की दाईं ओर और बाईं ओर की सीमा क्रमशः है:
$f(x)=\begin{cases} \frac{e^{1 / x}-1}{e^{1 / x}+1}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$

दिए गए सीमा (limit) का मूल्यांकन करें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a}$,जहाँ $a+b+c \neq 0$.

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