समाकलन int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{1}{3+2 sin | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{3+2 \sin x + \cos x}$.प्रतिस्थापन $	an(\frac{x}{2}) = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,

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$	an^{-1}(2)-\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{3+2 \sin x + \cos x}$.प्रतिस्थापन $	an(\frac{x}{2}) = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,और $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{3 + 2(\frac{2t}{1+t^2}) + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$$I = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{3(1+t^2) + 4t + 1 - t^2} = \int_{0}^{1} \frac{2 dt}{2t^2 + 4t + 4} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t + 2}$$I = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t+1)^2 + 1}$$I = [	an^{-1}(t+1)]_{0}^{1} = 	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(1) = 	an^{-1}(2) - \frac{\pi}{4}$.

समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3+2 \sin x+\cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{\pi / 4} \frac{x^2}{(x \sin x+\cos x)^2} d x=$

$\int_{1}^{2} \frac{x^{3} - 1}{x^{2}} dx =$

$\int_0^\infty {\frac{{x\,dx}}{{(1 + x)(1 + {x^2})}}} = $

$\int_0^\pi \sqrt{1+4 \sin^2 \frac{x}{2}+4 \sin \frac{x}{2}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[x]$, $x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है, तो समाकलन $\int_{0}^{2} x^{2}[x] d x$ का मान क्या होगा?

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