समाकलन intleft(left(frac{x}{2}right)^x+left(f | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \left( \left(\frac{x}{2}\right)^x + \left(\frac{2}{x}\right)^x \right) \log_2 x \, dx$. हम जानते हैं कि $\log_2 x = \frac{\ln x}{\l

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$\left(\frac{x}{2}\right)^x+\left(\frac{2}{x}\right)^x+C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \left( \left(\frac{x}{2}\right)^x + \left(\frac{2}{x}\right)^x \right) \log_2 x \, dx$. हम जानते हैं कि $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$. माना $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^x$. तब $\ln f(x) = x \ln \left(\frac{x}{2}\right) = x(\ln x - \ln 2)$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot (\ln x - \ln 2) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x - \ln 2 + 1$. अतः $f'(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^x (\ln x - \ln 2 + 1)$. इस समाकलन का हल $\left(\frac{x}{2}\right)^x + C$ प्राप्त होता है।

समाकलन $\int\left(\left(\frac{x}{2}\right)^x+\left(\frac{2}{x}\right)^x\right) \log _2 x \, dx$ किसके बराबर है?

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समाकलन $\frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(2-x^{2}) dx}{(2+x^{2}) \sqrt{4+x^{4}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} \, dx = $ (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है)

यदि $\int \frac{1}{\cos 4x \cos 2x} dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left(\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\right) - \frac{1}{2} \log g(x) + C$ है,तो $g\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{x-\sin x}{1+\cos x} dx = x \tan \left(\frac{x}{2}\right) + p \log \left|\sec \left(\frac{x}{2}\right)\right| + C$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{x^4+1}{1+x^6} dx =$

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