समाकलन int_{-1}^{frac{3}{2}} |pi^2 x sin(pi x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \pi^2 \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| \, dx$. चूंकि $x \sin(\pi x) \ge 0$ अंतराल $x \in [-1, 0]$ और $x \in [1, 3/2]$ के लिए है,और $x \si

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$1+3\pi$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \pi^2 \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| \, dx$. चूंकि $x \sin(\pi x) \ge 0$ अंतराल $x \in [-1, 0]$ और $x \in [1, 3/2]$ के लिए है,और $x \sin(\pi x) \le 0$ अंतराल $x \in [0, 1]$ के लिए है,हम समाकलन को विभाजित करते हैं: $I = \pi^2 \left[ \int_{-1}^{0} x \sin(\pi x) \, dx - \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) \, dx \right]$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int x \sin(\pi x) \, dx = -\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)$. भागों का मूल्यांकन करने पर: $\int_{-1}^{0} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{-1}^{0} = \frac{1}{\pi}$. $\int_{0}^{1} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{0}^{1} = \frac{1}{\pi}$. $\int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{x}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi x)]_{1}^{3/2} = -\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$. मान रखने पर: $I = \pi^2 [\frac{1}{\pi} - \frac{1}{\pi} + (\frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2})] = 1 + 3\pi$.

समाकलन $\int_{-1}^{\frac{3}{2}} |\pi^2 x \sin(\pi x)| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{1+\cos x}}{(1-\cos x)^{\frac{5}{2}}} d x=$

मान लीजिए $0 < \alpha < \beta < 1$ है। तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{1/(k+\beta)}^{1/(k+\alpha)} \frac{dx}{1+x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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