समाकलन int_{frac{-1}{2}}^{frac{1}{2}} left([x | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$. हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते है

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$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$. हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} [x] dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} [x] dx + \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx$. माना $g(x) = \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$. तब $g(-x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \log_{e}\left(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right) = -\log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -g(x)$. चूंकि $g(-x) = -g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x) dx = 0$. अब,महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के लिए: अंतराल $[-\frac{1}{2}, 0)$ में,$[x] = -1$. अंतराल $[0, \frac{1}{2}]$ में,$[x] = 0$. अतः,$I = \int_{\frac{-1}{2}}^{0} (-1) dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} (0) dx + 0$. $I = [-x]_{\frac{-1}{2}}^{0} = -(0 - (-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.

समाकलन $\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left([x] + \log_{e}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) dx$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,का मान क्या है?

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