વિકલ સમીકરણ $\sin y \left(\frac{d y}{d x}\right) = \cos y (1 - x \cos y)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિકલનીય વિધેય છે. જો તમામ $x \ge 1$ માટે $6 \int_{1}^{x} f(t) dt = 3xf(x) + x^{3} - 4$ હોય, તો $f(2) - f(3)$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $y = f(x)$ નો આલેખ જે બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cos x = \cos x$ નું સમાધાન કરે છે,તે કેવું છે?

જો $\cos x$ અને $\sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $a_{0} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+a_{1} \frac{d y}{d x}+a_{2} y=0$ ના ઉકેલો હોય, જ્યાં $a_{0}, a_{1}$ અને $a_{2}$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે, તો નીચેનામાંથી કયું/કયા હંમેશા સાચું છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ (જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે) શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ $(x \geq 1)$ નો ઉકેલ છે,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.