વિધેય $f(x) = 2x^2 - \log x$,$x > 0$ માટે જે અંતરાલમાં ઘટે છે તે અંતરાલ કયો છે?

ધારો કે $R^* = R - \left\{ (2k - 1) \frac{\pi}{2} \mid k \in I \right\}$. વિધેય $f: R^* \rightarrow R$ એ $f(x) = \tan x - x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે, તો $f(x)$ એ

જો વિધેય $y = \sin x(1 + \cos x)$ એ અંતરાલ $[-\pi, \pi]$ માં વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $y$ કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે?

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime\prime}(x) > 0$ અને $f^{\prime}(a-1) = 0$ છે, જ્યાં $a$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $g(x) = f(\tan^{2}x - 2\tan x + a)$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$. નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ $g$ એ $(0, \frac{\pi}{4})$ માં વધતું વિધેય છે.
$(II)$ $g$ એ $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તો,

જો $f(x) = \int_x^{x+1} e^{-t^2} dt$ હોય, તો જે અંતરાલમાં $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે તે અંતરાલ કયું છે?

જો $R$ એ $a$ ની એવી ન્યૂનતમ કિંમત હોય કે જેથી વિધેય $f(x) = x^{2} + ax + 1$ એ $[1, 2]$ પર વધતું વિધેય હોય અને $S$ એ $a$ ની એવી મહત્તમ કિંમત હોય કે જેથી વિધેય $f(x) = x^{2} + ax + 1$ એ $[1, 2]$ પર ઘટતું વિધેય હોય,તો $|R - S|$ ની કિંમત ..... છે.