પરવલય y^2=6ax દ્વારા વર્તુળ x^2+y^2=16a^2 ના | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) છેદબિંદુ માટે, $y^2=6ax$ ને $x^2+y^2=16a^2$ માં મૂકતા: $x^2+6ax-16a^2=0$ $(x+8a)(x-2a)=0$ પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી, $x=2a$ મળે. નાના પ્રદેશનું

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4a^2}{3}(8\pi-\sqrt{3})$

Vedclass · Answer

(A) છેદબિંદુ માટે, $y^2=6ax$ ને $x^2+y^2=16a^2$ માં મૂકતા: $x^2+6ax-16a^2=0$ $(x+8a)(x-2a)=0$ પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી, $x=2a$ મળે. નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2 \left[ \int_0^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx \right]$ છે. સંકલન ગણતા: $2 \int_0^{2a} \sqrt{6a} \sqrt{x} \, dx = 2 \sqrt{6a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{2a} = 2 \sqrt{6a} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2a \sqrt{2a} = \frac{8a^2 \sqrt{12}}{3} = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3}$. $2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{(4a)^2-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16a^2-x^2} + \frac{16a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{4a} \right) \right]_{2a}^{4a}$ $= 2 \left[ (0 + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (a \sqrt{12a^2} + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right] = 2 \left[ 4\pi a^2 - 2a^2 \sqrt{3} - \frac{4\pi a^2}{3} \right] = 2 \left[ \frac{8\pi a^2}{3} - 2a^2 \sqrt{3} \right] = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3}$. કુલ નાનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3} = \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi + \sqrt{3})$. મોટું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી નાનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે: $A_2 = \pi(4a)^2 - A_1 = 16\pi a^2 - \left( \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} \right) = \frac{32\pi a^2}{3} - \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(8\pi - \sqrt{3})$ ચોરસ એકમ.

Similar Questions

વક્રો $y^2 = 4x$ અને $y = |x|$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્રો $y=x^3$, $y=x^2$ અને રેખાઓ $x=0$ તથા $x=2$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

$y=x^3$, $y=x$ અને $-1 \leq x \leq 1$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

પરવલયો $x^2 = \frac{y}{4}$ અને $x^2 = 9y$ તથા સીધી રેખા $y = 2$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module