a0 માટે વક્રો C_1: y^2=a x અને C _2: x ^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વક્રો $C_{1}: y^{2}=ax$ અને $C_{2}: x^{2}=ay$ છે. તેમને ઉકેલતા,આપણને $x^{4}/a^{2} = ax \Rightarrow x(x^{3}-a^{3})=0$ મળે છે. આમ,છેદબિંદુઓ $O(0,0)$

Vedclass · Accepted Answer

$a^{6}-12 a^{3}+4=0$

Vedclass · Answer

(A) વક્રો $C_{1}: y^{2}=ax$ અને $C_{2}: x^{2}=ay$ છે. તેમને ઉકેલતા,આપણને $x^{4}/a^{2} = ax \Rightarrow x(x^{3}-a^{3})=0$ મળે છે. આમ,છેદબિંદુઓ $O(0,0)$ અને $P(a,a)$ છે.
જીવા $OP$ નું સમીકરણ $y=x$ છે. રેખા $x=b$ એ $OP$ ને $Q(b,b)$ માં અને $x$-અક્ષને $R(b,0)$ માં છેદે છે.
$\Delta OQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{વેધ} = \frac{1}{2} 	imes b 	imes b = \frac{b^{2}}{2}.$ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$b^{2}=1 \Rightarrow b=1$ મળે છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{a} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = [\frac{2}{3}\sqrt{a}x^{3/2} - x^{3}/(3a)]_{0}^{a} = \frac{2}{3}a^{2} - \frac{1}{3}a^{2} = \frac{a^{2}}{3}$ છે.
રેખા $x=b$ આ ક્ષેત્રફળને દુભાગે છે,તેથી $\int_{0}^{b} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = \frac{1}{2} 	imes \frac{a^{2}}{3} = \frac{a^{2}}{6}$ થાય.
$b=1$ મૂકતા: $\frac{2}{3}\sqrt{a} - \frac{1}{3a} = \frac{a^{2}}{6}.$
$6a$ વડે ગુણતા: $4a^{3/2} - 2 = a^{3} \Rightarrow a^{3} + 2 = 4a^{3/2}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(a^{3}+2)^{2} = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} + 4a^{3} + 4 = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} - 12a^{3} + 4 = 0.$

Similar Questions

વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=4$ અને $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

વક્રો $x(1+y^2)=1$ અને $y^2=2x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

$x^2 + y^2 = \pi^2$ અને $y = \sin x$ વચ્ચે પ્રથમ ચરણમાં આવેલ ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module