a का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1 - \sin x}$. माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \pi/2)$,इसलिए $t \in (0, 1)$.हम $g(t) = \frac{4}{t} + \

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$9$

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(D) माना $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1 - \sin x}$. माना $t = \sin x$. चूँकि $x \in (0, \pi/2)$,इसलिए $t \in (0, 1)$.हम $g(t) = \frac{4}{t} + \frac{1}{1 - t}$ को $t \in (0, 1)$ के लिए परिभाषित करते हैं।न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $g(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$g'(t) = -\frac{4}{t^2} + \frac{1}{(1 - t)^2}$.$g'(t) = 0$ रखने पर,$\frac{1}{(1 - t)^2} = \frac{4}{t^2}$,जिसका अर्थ है $(1 - t)^2 = \frac{t^2}{4}$.वर्गमूल लेने पर,$1 - t = \frac{t}{2}$ या $1 - t = -\frac{t}{2}$.$t \in (0, 1)$ के लिए,$1 - t = \frac{t}{2} \implies 1 = \frac{3t}{2} \implies t = \frac{2}{3}$.$t = \frac{2}{3}$ पर फलन का मान $g(2/3) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1 - 2/3} = 6 + 3 = 9$ है।जैसे-जैसे $t 	o 0^+$ और $t 	o 1^-$ होता है,$g(t) 	o \infty$ होता है,इसलिए $g(t)$ का परिसर $[9, \infty)$ है।अतः,$a$ का न्यूनतम मान जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक हल हो,$9$ है।

$a$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण $\frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1 - \sin x} = a$ का अंतराल $(0, \pi/2)$ में कम से कम एक हल हो।

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