प्राकृत संख्या $n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} < \binom{n}{7}$ हो।

$8$ पुरुषों और $5$ महिलाओं में से $11$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि $m$ कम से कम $6$ पुरुषों के साथ समिति बनाने के तरीकों की संख्या है और $n$ कम से कम $3$ महिलाओं के साथ समिति बनाने के तरीकों की संख्या है,तो:

$^{2n}C_4 : ^nC_3 = 99 : 4 \Rightarrow n = $

एक गाँव में $10$ खिलाड़ी हैं। $6$ खिलाड़ियों की एक टीम बनाई जानी है। इन $10$ खिलाड़ियों में से $5$ सदस्यों को चुना जाता है और फिर शेष $5$ खिलाड़ियों में से कप्तान चुना जाता है। ऐसी टीम चुनने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

यदि ${}^nC_{r-1}=330$,${}^nC_r=462$,और ${}^nC_{r+1}=462$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

$10$ लोगों को $2$ नावों में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है कि प्रत्येक नाव में $5$ लोग हों और दो विशिष्ट व्यक्ति एक ही नाव में न हों?