કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા અને તેના વ્યસ્તનો સરવાળો ન્યૂનતમ મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $f(x) = 1 - \sqrt{x^2}$, જ્યાં વર્ગમૂળ ધન લેવાનું છે. તો:

ધારો કે વિધેય $f(x)=2 x^3+(2 p-7) x^2+3(2 p-9) x-6$ ને $x < 0$ ની કોઈ કિંમત માટે મહત્તમ મૂલ્ય અને $x > 0$ ની કોઈ કિંમત માટે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે. તો,$p$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $......$ છે.

ધારો કે $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ અને $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
અને
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
જ્યાં,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ માટે,$\prod_{i=1}^n a_i$ એ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ નો ગુણાકાર દર્શાવે છે. ધારો કે $m_i$ અને $n_i$ અનુક્રમે અંતરાલ $(0, \infty)$ માં વિધેય $f_i, i=1, 2$ માટે સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ નું મૂલ્ય.
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ નું મૂલ્ય.
$(1)$ અને $(2)$ માટે જવાબ આપો.

અંતરાલ $[1, 5]$ પર વિધેય $f(x) = 2x^{3} - 15x^{2} + 36x + 1$ માટે નિરપેક્ષ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો.

જો એક લંબવૃત્તીય નળાકારની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો સરવાળો $6 \text{ m}$ હોય, તો તેનું મહત્તમ ઘનફળ કેટલું થાય ($\pi \text{ m}^3$ માં)?