परवलय y^{2}=4ax (a0) की उस जीवा की लंबाई क्य | vedclass

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Question

(B) परवलय $y^{2}=4ax$ का शीर्ष मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है।शीर्ष $O$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $y = x 	an

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$4a \cot \alpha \operatorname{cosec} \alpha$

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(B) परवलय $y^{2}=4ax$ का शीर्ष मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है।शीर्ष $O$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $y = x 	an \alpha$ है।इस रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ को ज्ञात करने के लिए, $y = x 	an \alpha$ को $y^{2}=4ax$ में प्रतिस्थापित करें:$(x 	an \alpha)^{2} = 4ax$$x^{2} 	an^{2} \alpha = 4ax$चूंकि $P$ मूल बिंदु नहीं है, इसलिए $x 
eq 0$, जिससे $x 	an^{2} \alpha = 4a$, जो $x = 4a \cot^{2} \alpha$ देता है।तब $y = (4a \cot^{2} \alpha) 	an \alpha = 4a \cot \alpha$।अतः, $P$ के निर्देशांक $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ हैं।जीवा $OP$ की लंबाई $(0,0)$ से $(4a \cot^{2} \alpha, 4a \cot \alpha)$ तक की दूरी है:$OP = \sqrt{(4a \cot^{2} \alpha)^{2} + (4a \cot \alpha)^{2}}$$OP = \sqrt{16a^{2} \cot^{4} \alpha + 16a^{2} \cot^{2} \alpha}$$OP = 4a \cot \alpha \sqrt{\cot^{2} \alpha + 1}$$OP = 4a \cot \alpha \operatorname{cosec} \alpha$ (चूंकि $0  0$ और $\operatorname{cosec} \alpha > 0$)।

परवलय $y^{2}=4ax$ $(a>0)$ की उस जीवा की लंबाई क्या है जो शीर्ष से होकर गुजरती है और परवलय की अक्ष के साथ न्यून कोण $\alpha$ बनाती है?

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बिंदु $(3,4)$ एक परवलय की नाभि है और $2x - 3y + 5 = 0$ उसकी नियता (directrix) है। इसका नाभिलंब (latus rectum) है:

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