એક ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ $m^{2}+n^{2}$,$2mn$ અને $m^{2}-n^{2}$ છે,જ્યાં $m > n > 0$ છે. સાબિત કરો કે આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = m^{2}-n^{2}$,$b = 2mn$ અને $c = m^{2}+n^{2}$ છે.
ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે તપાસવું પડશે કે સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે કે નહીં (પાયથાગોરસનો પ્રમેય).
અહીં,$c = m^{2}+n^{2}$ એ સૌથી મોટી બાજુ છે કારણ કે $m > n > 0$.
$a^{2} + b^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$a^{2} + b^{2} = (m^{2}-n^{2})^{2} + (2mn)^{2}$
$= (m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4}) + 4m^{2}n^{2}$
$= m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$
$= (m^{2}+n^{2})^{2}$
$= c^{2}$
આમ,$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ હોવાથી,ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.