$(5, 1, a)$ અને $(3, b, 1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $yz$-સમતલને $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ બિંદુએ છેદે છે,તો $2a + 3b$ ની કિંમત શોધો.

રેખાઓ $\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5}$ અને $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો. ($\sqrt{3}$ માં)

ધારો કે રેખાઓ $L : \frac{x-5}{-2} = \frac{y-\lambda}{0} = \frac{z+\lambda}{1}, \lambda \geq 0$ અને $L_1 : x+1 = y-1 = 4-z$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $2\sqrt{6}$ છે. જો $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $L$ પર આવેલું હોય,તો નીચેનામાંથી કયું શક્ય નથી?

બિંદુ $Q(0, 2, -2)$ નું બિંદુ $P(5, -4, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખાઓ $\overrightarrow{r} = (-3 \hat{i} + 2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}), \lambda \in R$ અને $\overrightarrow{r} = (\hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}), \mu \in R$ ને લંબ રેખાથી અંતર કેટલું છે?

રેખાઓ $\vec{r}=(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k})$ અને $\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ એ રેખા $\frac{x}{1}=\frac{1-y}{-2}=\frac{z-2}{3}$ પર આવેલા છે. $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(1, 6, 3)$ અને $(4, 9, \alpha)$ છે અને $C$ એ $B$ થી $10$ એકમ અંતરે છે. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો: