रेखाएँ frac{x-2}{2}=frac{y}{-2}=frac{z-7}{16} | vedclass

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Question

(A) माना पहली रेखा $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z-7}{16} = \lambda$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+2, -2\lambda, 16\lambda+7)$ है।माना

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$108$

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(A) माना पहली रेखा $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z-7}{16} = \lambda$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+2, -2\lambda, 16\lambda+7)$ है।माना दूसरी रेखा $\frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+2}{1} = k$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4k-3, 3k-2, k-2)$ है।चूंकि वे $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:$2\lambda+2 = 4k-3 \Rightarrow 2\lambda - 4k = -5$$-2\lambda = 3k-2 \Rightarrow 2\lambda + 3k = 2$इन समीकरणों को जोड़ने पर: $-k = -7 \Rightarrow k=1$। $k=1$ को $2\lambda+3(1)=2$ में रखने पर,हमें $2\lambda = -1 \Rightarrow \lambda = -1/2$ प्राप्त होता है।$z$-निर्देशांक की जाँच करने पर: $16(-1/2)+7 = -8+7 = -1$ और $k-2 = 1-2 = -1$। चूंकि वे समान हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(4(1)-3, 3(1)-2, 1-2) = (1, 1, -1)$ है।अब,हम रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{1}$ से $P(1, 1, -1)$ की दूरी $l$ ज्ञात करते हैं।माना $A = (-1, 1, 1)$ रेखा पर एक बिंदु है और $\vec{v} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ दिशा सदिश है।सदिश $\vec{AP} = (1 - (-1))\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{k}$ है।दूरी $l$ का सूत्र $l = \frac{|\vec{AP} 	imes \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ है।$\vec{AP} 	imes \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 0 & -2 \ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(2 - (-4)) + \hat{k}(6 - 0) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$ है।$|\vec{AP} 	imes \vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{36+36+36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ है।$|\vec{v}| = \sqrt{2^2+3^2+1^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$ है।$l = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{14}} \Rightarrow l^2 = \frac{36 	imes 3}{14} = \frac{108}{14}$ है।अतः,$14l^2 = 108$।

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