फलन $f(x)=-(x-2)^3(x+2)^2$ का स्थानीय अधिकतम मान है

माना $f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2}, x > 0$. माना $x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n < \ldots$ फलन $f(x)$ के सभी स्थानीय उच्चतम बिंदु हैं और $y_1 < y_2 < y_3 < \ldots < y_n < \ldots$ फलन $f(x)$ के सभी स्थानीय न्यूनतम बिंदु हैं। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
$(1)$ प्रत्येक $n$ के लिए $|x_n - y_n| > 1$
$(2)$ $x_1 < y_1$
$(3)$ प्रत्येक $n$ के लिए $x_n \in (2n, 2n + \frac{1}{2})$
$(4)$ प्रत्येक $n$ के लिए $x_{n+1} - x_n > 2$

$\max _{0 \leq x \leq \pi}\left\{x-2 \sin x \cos x+\frac{1}{3} \sin 3 x\right\}=$

मान लीजिए कि $A$ परवलय $y^2=2x$ और रेखा $x=24$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र है। तो क्षेत्र $A$ में अंतर्निहित आयत का अधिकतम क्षेत्रफल .................. है।

अंतराल $[0, 1]$ पर वास्तविक फलन $f(x)=(x+1)^{1/3}-(x-1)^{1/3}$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

$a$ का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समानता $2 \alpha + \beta = 8$ सत्य है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ फलन $f(x) = 2 x^3 - 9 a x^2 + 12 a^2 x + 1$ के क्रमशः उच्चतम और निम्नतम बिंदु हैं।