એક બિંદુનો બિંદુપથ શોધો જેનું બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(-3, 0)$ થી અંતરનો તફાવત $4$ હોય.

જો અતિવલય (hyperbola) ના અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

એક અતિવલય (hyperbola) એ ઉપવલય (ellipse) $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ ના નાભિ (focus) માંથી પસાર થાય છે. તેના મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અનુક્રમે ઉપવલયના મોટા અને નાના અક્ષો સાથે સંપાતી છે. તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ છે. તો,અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

$(p, q)$ એ અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 144$ ના નાભિલંબ અને અનંતસ્પર્શકનું છેદબિંદુ છે. જો $p > 0$ અને $q > 0$ હોય,તો $q =$

વર્તુળ $x^2 + y^2 = 10$ ની અંદરના એવા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા શોધો કે જ્યાંથી વક્ર $\sqrt{(x + 5\sqrt{2})^2 + y^2} - \sqrt{(x - 5\sqrt{2})^2 + y^2} = 10$ પર માત્ર એક જ વાસ્તવિક સ્પર્શક દોરી શકાય (જ્યાં પૂર્ણાંક બિંદુ $(x, y)$ એટલે $x, y \in \mathbb{Z}$):

જો અતિવલયો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાઓ અનુક્રમે $e$ અને $e_1$ હોય,તો $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e_1^2} = $