$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 5x + 4y - 2 = 0$ વર્તુળોને લંબચ્છેદી વર્તુળોના કેન્દ્રોનો બિંદુપથ શોધો.

એક ચલિત સીધી રેખા $AB$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25$ ના પરિઘને $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. જો નાના ચાપ પર $AB$ ને સમાંતર સ્પર્શક $CD$ દોરવામાં આવે,જેથી $ABCD$ એક લંબચોરસ બને,તો $C$ અને $D$ નો બિંદુગણ (locus) શું છે?

બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9{\sin ^2}\alpha + 13{\cos ^2}\alpha = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha$ છે. બિંદુ $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

એક વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે અને $y$-અક્ષ પર $2l$ લંબાઈની જીવા કાપે છે. વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $ABCD$ અને $AEFG$ અનુક્રમે $4$ અને $2$ એકમ બાજુવાળા ચોરસ છે. બિંદુ $E$ એ રેખાખંડ $AB$ પર છે અને બિંદુ $F$ એ વિકર્ણ $AC$ પર છે. તો બિંદુ $F$ માંથી પસાર થતા અને રેખાખંડો $BC$ અને $CD$ ને સ્પર્શતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ નીચેનામાંથી કયું સમીકરણ સંતોષે છે:

એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેનું ઉગમબિંદુથી અંતર હંમેશા $4$ રહે છે. તો તે બિંદુનો બિંદુપથ શું છે?