જે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ અને $x^{2}+y^{2}=4ax$ બંનેને બહારથી સ્પર્શે છે, તે વર્તુળોના કેન્દ્રનો બિંદુપથ શું છે?

$(5, 0)$ અને $(10 \cos \theta, 10 \sin \theta)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને બિંદુ $P(x, y)$ એ $2 : 3$ પ્રમાણમાં વિભાજીત કરે છે. જો $\theta$ બદલાય તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

$x^2-2x+y^2=0$ વર્તુળ પરના બિંદુ $(0,0)$ માંથી દોરવામાં આવેલી જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $\Gamma$ એ $AB$ વ્યાસ અને $O$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $l$ એ $B$ આગળ $\Gamma$ નો સ્પર્શક છે. $\Gamma$ પરના $A$ થી ભિન્ન દરેક બિંદુ $M$ માટે,$M$ આગળનો સ્પર્શક $t$ ધ્યાનમાં લો અને તે $l$ ને $P$ માં છેદે છે તેમ ધારો. $P$ માંથી પસાર થતી અને $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $OM$ ને $Q$ માં છેદે છે. જેમ $M$ એ $\Gamma$ પર બદલાય છે તેમ $Q$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો એક વર્તુળ બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = K^2$ ને લંબચ્છેદી રીતે કાપે છે,તો તેના કેન્દ્રના બિંદુપથનું સમીકરણ શું છે?

એક નક્કર અર્ધગોલકને નળાકારની ઉપરના ભાગે જોડવામાં આવે છે,જેની ત્રિજ્યા નળાકારની ત્રિજ્યા જેટલી જ છે. જો નળાકારની ઊંચાઈ બમણી કરવામાં આવે (બંને ત્રિજ્યા અચળ રાખીને),તો સમગ્ર સિસ્ટમનું કદ $50\,\%$ વધી જશે. જો અર્ધગોલક અને નળાકારની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે (ઊંચાઈ અચળ રાખીને),તો કદમાં કેટલા ટકાનો વધારો થશે ($,\%$ માં)?