सम्मिश्र संख्या $Z$ का बिंदुपथ,जहाँ $\arg \left(\frac{Z-1}{Z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ है,वह है

आर्गंड समतल में बिंदु $P$ सम्मिश्र संख्या $z=x+iy$ को दर्शाता है। यदि $\frac{2z-i}{z-2}$ एक शुद्ध वास्तविक संख्या है,तो $P$ के बिंदुपथ का समीकरण क्या है?

यदि $a$ एक सम्मिश्र संख्या है और $b$ एक वास्तविक संख्या है,तो समीकरण $\bar{a}+a+b=0$ सम्मिश्र तल में $a$ को बिंदुओं के बिंदुपथ के रूप में दर्शाता है,जो क्या है?

मान लीजिए $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_{10}$ धनात्मक मान वाले कोण (रेडियन में) हैं,इस प्रकार कि $\theta_1+\theta_2+\ldots+\theta_{10}=2 \pi$ है। सम्मिश्र संख्याओं $z_1=e^{i \theta_1}, z_k=z_{k-1} e^{i \theta_k}$ को परिभाषित करें,जहाँ $k=2,3, \ldots, 10$ और $i=\sqrt{-1}$ है। नीचे दिए गए कथनों $P$ और $Q$ पर विचार करें:
$P: |z_2-z_1|+|z_3-z_2|+\ldots+|z_{10}-z_9|+|z_1-z_{10}| \leq 2 \pi$
$Q: |z_2^2-z_1^2|+|z_3^2-z_2^2|+\ldots+|z_{10}^2-z_9^2|+|z_1^2-z_{10}^2| \leq 4 \pi$
तब,

समुच्चय $S = \left\{ \frac{\alpha + i}{\alpha - i} : \alpha \in R \right\} (i = \sqrt{-1})$ के सभी बिंदु किस पर स्थित हैं?

यदि एक बिंदु $P$ आर्गंड तल में एक सम्मिश्र संख्या $z=x+iy$ को दर्शाता है और यदि $\frac{z+1}{z+i}$ एक शुद्ध वास्तविक संख्या है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?