$x=2y$ રેખા પરના બિંદુઓમાંથી $x=y$ રેખા પર દોરવામાં આવેલા લંબના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

$A (a, 0)$ અને $B (-a, 0)$ એ $\Delta ABC$ ના બે નિયત બિંદુઓ છે. જો શિરોબિંદુ $C$ એવી રીતે ગતિ કરે કે જેથી $\cot A + \cot B = \lambda$ થાય,જ્યાં $\lambda$ અચળ છે,તો બિંદુ $C$ નો બિંદુપથ શું છે?

બિંદુઓ $O$,$A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(0,0)$,$(0,4)$ અને $(6,0)$ છે. જો બિંદુ $P$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $\Delta POA$ નું ક્ષેત્રફળ હંમેશા $\Delta POB$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું હોય,તો $P$ ના બિંદુગણ (locus) ના બંને ભાગો માટેનું સમીકરણ શું છે?

ધારો કે $A=(1, 2)$,$B=(2, 1)$,અને $C=(-1, -1)$ ત્રણ બિંદુઓ છે. જો $P(x, y)$ એવું બિંદુ હોય કે જેથી ચતુષ્કોણ $PABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ $PAB$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું હોય,તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

જો $A=(-1, 2)$ અને $B=(1, -2)$ બે બિંદુઓ હોય અને $P$ એવું ચલ બિંદુ હોય કે જેથી $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ હંમેશા $1$ રહે,તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

જો બિંદુ $\left(\alpha, \frac{7 \sqrt{3}}{3}\right)$ એ રેખાઓ $x \cos \theta + y \sin \theta = 7, \theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ના યામ અક્ષો વચ્ચેના રેખાખંડોના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા વક્ર પર આવેલું હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.