સદિશ $2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ નો,સદિશો $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ પરનો પ્રક્ષેપનું માન કેટલું થાય?

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને સદિશ $\vec{c}$ એવો છે કે જેથી $(\vec{a}-\vec{c}) \times \vec{b}=-18 \hat{i}-3 \hat{j}+12 \hat{k}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$ થાય. જો $\vec{b} \times \vec{c}=\vec{d}$ હોય,તો $|\vec{a} \cdot \vec{d}|$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $\lambda \in R$,$\vec{a} = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$,અને $\vec{b} = \hat{i} - \lambda \hat{j} + 2 \hat{k}$. જો $((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ હોય,તો $|\lambda(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})|^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
વિધાન $(A)$ : નિત્યસમ $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$ એ $\overrightarrow{a}$ માટે સાચું છે.
કારણ $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,અને $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો ત્રણ બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ અને $7\hat{i} + 4\hat{j} + 9\hat{k}$ હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ ના સમતલને લંબ એકમ સદિશ શોધો.

જો $a = i - j$,$b = i + j$,$c = i + 3j + 5k$ અને $n$ એ એકમ સદિશ છે કે જેથી $b \cdot n = 0$ અને $a \cdot n = 0$ થાય,તો $|c \cdot n|$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?