समीकरण left| z + frac{1}{z} right| = a को संत | vedclass

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Question

(C) माना $z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)$ है।तब $\left| z + \frac{1}{z} ight| = a \implies \left| z + \frac{1}{z} ight|^2 = a^2$ है।इसका विस्त

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$\frac{1}{2}(\sqrt{a^2 + 4} + a)$

Vedclass · Answer

(C) माना $z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)$ है।तब $\left| z + \frac{1}{z} ight| = a \implies \left| z + \frac{1}{z} ight|^2 = a^2$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $\left( r + \frac{1}{r} ight)^2 \cos^2 	heta + \left( r - \frac{1}{r} ight)^2 \sin^2 	heta = a^2$ प्राप्त होता है।यह $r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 \cos 2	heta = a^2$ में सरल हो जाता है।$r$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $\cos 2	heta$ को न्यूनतम करना होगा। $\cos 2	heta$ का न्यूनतम मान $-1$ है।अतः $r^2 + \frac{1}{r^2} - 2 = a^2$,जो $(r - \frac{1}{r})^2 = a^2$ हो जाता है।इस प्रकार $r - \frac{1}{r} = a$,जिसका हल $r = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$ है।

समीकरण $\left| z + \frac{1}{z} \right| = a$ को संतुष्ट करने वाले बिंदु $z$ की मूल बिंदु से अधिकतम दूरी क्या है?

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यदि $z_1 = 10 + 6i$,$z_2 = 4 + 6i$ और $z$ कोई ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $\frac{z - z_1}{z - z_2}$ का कोणांक $\frac{\pi}{4}$ है,तो

यदि एक सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ इस प्रकार ली जाती है कि भिन्न $\frac{z - 1}{z + 1}$ का आयाम (amplitude) हमेशा $\frac{\pi}{4}$ हो,तो:

किसी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, $|z| + |z - 1|$ का न्यूनतम मान क्या है?

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