यदि एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy इस प्रकार ल | vedclass

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Question

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$ है।हर के संयुग्मी $(x + 1) - iy$ से अंश और हर को गुणा करने पर:$

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$x^2 + y^2 - 2y = 1$

Vedclass · Answer

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$ है।हर के संयुग्मी $(x + 1) - iy$ से अंश और हर को गुणा करने पर:$\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(2y)}{(x + 1)^2 + y^2}$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि आयाम $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $	an(\frac{\pi}{4}) = \frac{	ext{काल्पनिक भाग}}{	ext{वास्तविक भाग}} = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$ है।चूंकि $	an(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $1 = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$ है।अतः,$x^2 + y^2 - 1 = 2y$,जिसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 2y = 1$ प्राप्त होता है।

यदि एक सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ इस प्रकार ली जाती है कि भिन्न $\frac{z - 1}{z + 1}$ का आयाम (amplitude) हमेशा $\frac{\pi}{4}$ हो,तो:

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