$x+y \leq 10, 5x+3y \geq 15, x \leq 6, x, y \geq 0$ के अधीन $z=x+y$ का अधिकतम मान,

एक निर्माता बाइक के दो मॉडल बनाता है: मॉडल $X$ और मॉडल $Y$। मॉडल $X$ को बनाने में प्रति इकाई $6$ मानव-घंटे लगते हैं,जबकि मॉडल $Y$ को प्रति इकाई $10$ मानव-घंटे लगते हैं। प्रति सप्ताह कुल $450$ मानव-घंटे उपलब्ध हैं। मॉडल $X$ और $Y$ के लिए हैंडलिंग और मार्केटिंग लागत क्रमशः $Rs. 2000$ और $Rs. 1000$ प्रति इकाई है। इन उद्देश्यों के लिए उपलब्ध कुल धनराशि $Rs. 80,000$ प्रति सप्ताह है। मॉडल $X$ और $Y$ के लिए प्रति इकाई लाभ क्रमशः $Rs. 1000$ और $Rs. 500$ है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए निर्माता को प्रत्येक मॉडल की कितनी बाइक बनानी चाहिए? अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।

$-x + y \leq 1$,$2x + y \leq 2$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ के अधीन $z = 2x + 6y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के उद्देश्य फलन $z = 3x + 5y$ का, बाधाओं $5x + 10y \leq 50$, $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ के अंतर्गत, अधिकतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर $3\lambda$ है। तब $\lambda$ का मान है

यदि $Z=10x+25y$ के लिए शर्तें $0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ हैं,तो $Z$ का अधिकतम मान किस बिंदु पर होगा?

एक विनिर्माण कंपनी एक उत्पाद के दो मॉडल $A$ और $B$ बनाती है। मॉडल $A$ के प्रत्येक नग के लिए निर्माण (fabrication) के लिए $9$ श्रम घंटे और फिनिशिंग के लिए $1$ श्रम घंटा आवश्यक है। मॉडल $B$ के प्रत्येक नग के लिए निर्माण के लिए $12$ श्रम घंटे और फिनिशिंग के लिए $3$ श्रम घंटे आवश्यक हैं। निर्माण और फिनिशिंग के लिए उपलब्ध अधिकतम श्रम घंटे क्रमशः $180$ और $30$ हैं। कंपनी मॉडल $A$ के प्रत्येक नग पर $8000$ रुपये और मॉडल $B$ के प्रत्येक नग पर $12000$ रुपये का लाभ कमाती है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रति सप्ताह मॉडल $A$ और मॉडल $B$ के कितने नग निर्मित किए जाने चाहिए? प्रति सप्ताह अधिकतम लाभ क्या है?