$3x+2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ અને $x, y \geq 0$ શરતોને આધીન $Z=3x+5y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

હેતુલક્ષી વિધેય $z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો,જે શરતો $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ અને $x, y \geq 0$ ને આધીન છે:

એક ઉત્પાદક પાસે તેની ફેક્ટરીમાં ત્રણ મશીનો $I, II$ અને $III$ છે. મશીન $I$ અને $II$ વધુમાં વધુ $12 \, \text{કલાક}$ માટે ચલાવી શકાય છે,જ્યારે મશીન $III$ દિવસમાં ઓછામાં ઓછા $5 \, \text{કલાક}$ ચલાવવું આવશ્યક છે. તે માત્ર બે વસ્તુઓ $M$ અને $N$ બનાવે છે,જે દરેકને ત્રણેય મશીનોના ઉપયોગની જરૂર પડે છે. ત્રણેય મશીનો પર $M$ અને $N$ ની $1$ એકમ બનાવવા માટે જરૂરી કલાકો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે:

વસ્તુઓ	મશીન $I$	મશીન $II$	મશીન $III$
$M$	$1$	$2$	$1$
$N$	$2$	$1$	$1.25$

તે વસ્તુ $M$ અને $N$ પર અનુક્રમે $Rs. \, 600$ અને $Rs. \, 400$ નો નફો મેળવે છે. તેણે દરેક વસ્તુના કેટલા એકમોનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ જેથી તેનો નફો મહત્તમ થાય,એમ ધારીને કે તે ઉત્પાદિત તમામ વસ્તુઓ વેચી શકે છે? મહત્તમ નફો કેટલો થશે?

એક કંપની પ્લાયવુડમાંથી બે પ્રકારની નવીન સ્મૃતિચિહ્નો બનાવે છે. પ્રકાર $A$ ના સ્મૃતિચિહ્નો માટે કાપવા માટે $5 \text{ મિનિટ}$ અને એસેમ્બલ કરવા માટે $10 \text{ મિનિટ}$ લાગે છે. પ્રકાર $B$ ના સ્મૃતિચિહ્નો માટે કાપવા માટે $8 \text{ મિનિટ}$ અને એસેમ્બલ કરવા માટે $8 \text{ મિનિટ}$ લાગે છે. કાપવા માટે $3 \text{ કલાક } 20 \text{ મિનિટ}$ અને એસેમ્બલ કરવા માટે $4 \text{ કલાક}$ ઉપલબ્ધ છે. પ્રકાર $A$ પર $Rs. 5$ અને પ્રકાર $B$ ના સ્મૃતિચિહ્નો પર $Rs. 6$ નો નફો મળે છે. મહત્તમ નફો મેળવવા માટે કંપનીએ દરેક પ્રકારના કેટલા સ્મૃતિચિહ્નો બનાવવા જોઈએ?

રેશ્મા બે પ્રકારના ખોરાક $P$ અને $Q$ ને એવી રીતે મિશ્ર કરવા માંગે છે કે મિશ્રણમાં ઓછામાં ઓછા $8$ એકમ વિટામિન $A$ અને $11$ એકમ વિટામિન $B$ હોય. ખોરાક $P$ ની કિંમત Rs $60/kg$ છે અને ખોરાક $Q$ ની કિંમત Rs $80/kg$ છે. ખોરાક $P$ માં $3$ એકમ/kg વિટામિન $A$ અને $5$ એકમ/kg વિટામિન $B$ છે,જ્યારે ખોરાક $Q$ માં $4$ એકમ/kg વિટામિન $A$ અને $2$ એકમ/kg વિટામિન $B$ છે. મિશ્રણની ન્યૂનતમ કિંમત નક્કી કરો. ધારો કે મિશ્રણમાં $x$ kg ખોરાક $P$ અને $y$ kg ખોરાક $Q$ છે. તેથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$. આપેલી માહિતી નીચે મુજબ કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકાય છે:

હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+6y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જે શરતો $3x+2y \leq 12$,$x+y \geq 4$,$x, y \geq 0$ ને આધીન છે.