$Z = 4x + 5y$ का अधिकतम मान क्या है, जो प्रतिबंधों $3x + y \leq 15$, $3x + 4y \leq 24$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ के अधीन है?

एक थोक व्यापारी $Rs \ 24000$ के साथ अनाज का व्यवसाय शुरू करना चाहता है। गेहूं की कीमत $Rs \ 400$ प्रति क्विंटल और चावल की कीमत $Rs \ 600$ प्रति क्विंटल है। उसके पास $200$ क्विंटल अनाज भंडारण करने की क्षमता है। वह गेहूं पर $Rs \ 25$ प्रति क्विंटल और चावल पर $Rs \ 40$ प्रति क्विंटल का लाभ कमाता है। यदि वह $x$ क्विंटल चावल और $y$ क्विंटल गेहूं का भंडारण करता है,तो अधिकतम लाभ के लिए उद्देश्य फलन (objective function) क्या है?

उद्देश्य फलन $Z = 3x + 5y$ का अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए, जो प्रतिबंधों $x + 3y \leq 60$, $x + y \geq 10$, $x - y \leq 0$ और $x, y \geq 0$ के अधीन है।

नीचे दी गई आकृति में छायांकित क्षेत्र एक निश्चित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए समाधान सेट है। रैखिक बाधाएं इस प्रकार दी गई हैं:

एक निर्माता बाइक के दो मॉडल बनाता है: मॉडल $X$ और मॉडल $Y$। मॉडल $X$ को बनाने में प्रति इकाई $6$ मानव-घंटे लगते हैं,जबकि मॉडल $Y$ को प्रति इकाई $10$ मानव-घंटे लगते हैं। प्रति सप्ताह कुल $450$ मानव-घंटे उपलब्ध हैं। मॉडल $X$ और $Y$ के लिए हैंडलिंग और मार्केटिंग लागत क्रमशः $Rs. 2000$ और $Rs. 1000$ प्रति इकाई है। इन उद्देश्यों के लिए उपलब्ध कुल धनराशि $Rs. 80,000$ प्रति सप्ताह है। मॉडल $X$ और $Y$ के लिए प्रति इकाई लाभ क्रमशः $Rs. 1000$ और $Rs. 500$ है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए निर्माता को प्रत्येक मॉडल की कितनी बाइक बनानी चाहिए? अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।

असमिकाओं $x-y \geqslant 0$,$x-5y \leqslant -5$,$x \geqslant 0$,$y \geqslant 0$ के लिए सुसंगत क्षेत्र (feasible region) आकृति द्वारा दर्शाया गया है: