समुच्चय {z in mathbb{C} : 0 leq operatorname{ | vedclass

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Question

(A) माना $z = x + iy$, जहाँ $0 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq 1$ है। तब $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ होगा। अतः, $|e^{z^2}| = |e^{x^2 - y^2}

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$e$

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(A) माना $z = x + iy$, जहाँ $0 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq 1$ है। तब $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ होगा। अतः, $|e^{z^2}| = |e^{x^2 - y^2} \cdot e^{i(2xy)}| = e^{x^2 - y^2} \cdot |e^{i(2xy)}|$। चूँकि $|e^{i(2xy)}| = 1$, इसलिए $|e^{z^2}| = e^{x^2 - y^2}$ होगा। $e^{x^2 - y^2}$ को अधिकतम करने के लिए, हमें घातांक $f(x, y) = x^2 - y^2$ को $0 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq 1$ की शर्तों के तहत अधिकतम करना होगा। $x^2 - y^2$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $x$ अधिकतम $(x=1)$ हो और $y$ न्यूनतम $(y=0)$ हो। अतः, अधिकतम मान $e^{1^2 - 0^2} = e^1 = e$ है।

समुच्चय $\{z \in \mathbb{C} : 0 \leq \operatorname{Re}(z) \leq 1, 0 \leq \operatorname{Im}(z) \leq 1\}$ पर $e^{z^2}$ के मापांक का अधिकतम मान क्या है?

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