यदि $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं,जिसका केंद्रक $z_0$ है,तो $\sum_{k=1}^3 (z_k - z_0)^2$ का मान क्या होगा?

$z_1, z_2, z_3$ आर्गेंड समतल में त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A, B, C$ को दर्शाते हैं। यदि $|z_1-z_2|=\sqrt{25-12\sqrt{3}}$,$|\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}|=\frac{3}{4}$ और $\angle ACB=30^{\circ}$ है,तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

एक कण $P$,बिंदु $Z_0 = 1 + 2i$ से शुरू होता है जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। यह पहले मूल बिंदु से दूर क्षैतिज रूप से $5$ इकाई और फिर धनात्मक $y$-अक्ष के समानांतर ऊर्ध्वाधर रूप से $3$ इकाई ऊपर चलकर बिंदु $Z_1$ पर पहुँचता है। $Z_1$ से,कण $\hat{i} + \hat{j}$ सदिश की दिशा में $\sqrt{2}$ इकाई चलता है और फिर मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त पर वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{2}$ कोण से घूमकर बिंदु $Z_2$ पर पहुँचता है। तब $Z_2 =$

यदि $z_1, z_2, z_3$ आर्गेंड समतल में एक त्रिभुज के शीर्ष हैं,जहाँ $|z_1 - z_2| = |z_1 - z_3|$ है,तो $\arg \left( \frac{2z_1 - z_2 - z_3}{z_3 - z_2} \right)$ का मान क्या होगा?

सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए $|z - 1| = |z + 1| = |z - i|$ हो।

सम्मिश्र संख्या $z$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac{\pi}{3}$ है।