$100$ प्रेक्षणों $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ का माध्य और मानक विचलन एक छात्र द्वारा क्रमशः $40$ और $5.1$ परिकलित किया गया,जिसने गलती से एक प्रेक्षण के लिए $40$ के स्थान पर $50$ ले लिया था। तब $\sum_{i=1}^{100} x_i^2$ का सही मान है:

पाँच संख्याओं वाले एक समुच्चय का माध्य $8$ और प्रसरण $18$ है,और $3$ संख्याओं वाले दूसरे समुच्चय का माध्य $8$ और प्रसरण $24$ है। तो संख्याओं के संयुक्त समुच्चय का प्रसरण क्या होगा?

मान लीजिए $\bar{x}, M$ और $\sigma^2$ क्रमशः $n$ प्रेक्षणों $x_1, x_2, ..., x_n$ के माध्य,बहुलक और प्रसरण हैं और $d_i = -x_i - a, i = 1, 2, ..., n$,जहाँ $a$ कोई संख्या है। कथन $I$: $d_1, d_2, ..., d_n$ का प्रसरण $\sigma^2$ है। कथन $II$: $d_1, d_2, ..., d_n$ के माध्य और बहुलक क्रमशः $-\bar{x} - a$ और $-M - a$ हैं।

$5$ प्रेक्षणों का माध्य $4.4$ है और उनका प्रसरण $8.24$ है। यदि तीन प्रेक्षण $1, 2$ और $6$ हैं,तो अन्य दो प्रेक्षण क्या हैं?

मान लीजिए ${x_1}, {x_2}, ..., {x_n}$ $n$ प्रेक्षण हैं,जहाँ $\sum x_i^2 = 400$ और $\sum x_i = 80$ है। तो निम्नलिखित में से $n$ का एक संभावित मान क्या है?

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(1)$ बहुलक (Mode) की गणना हिस्टोग्राम से की जा सकती है।
$(2)$ माध्यिका (Median) पैमाने (scale) के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है।
$(3)$ प्रसरण (Variance) मूल बिंदु (origin) और पैमाने (scale) के परिवर्तन से स्वतंत्र है।
इनमें से कौन-सा/से सही है/हैं?