$n_{1}$ અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $\bar{x}_{1}$ અને $s_{1}$ છે,જ્યારે બીજા $n_{2}$ અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $\bar{x}_{2}$ અને $s_{2}$ છે. સાબિત કરો કે $(n_{1}+n_{2})$ અવલોકનોના સંયુક્ત સમૂહનું પ્રમાણિત વિચલન $SD = \sqrt{\frac{n_{1}(s_{1})^{2}+n_{2}(s_{2})^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) ધારો કે બે અવલોકનોના સમૂહ $x_{i}$ $(i=1, 2, \ldots, n_{1})$ અને $y_{j}$ $(j=1, 2, \ldots, n_{2})$ છે.
સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{n_{1}\bar{x}_{1} + n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ છે.
સંયુક્ત સમૂહનું વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{1}{n_{1}+n_{2}} [\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} + \sum (y_{j}-\bar{x})^{2}]$ છે.
નિત્યસમ $\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} = n_{1}s_{1}^{2} + n_{1}d_{1}^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $d_{1} = \bar{x}_{1}-\bar{x}$.
તે જ રીતે,$\sum (y_{j}-\bar{x})^{2} = n_{2}s_{2}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}$,જ્યાં $d_{2} = \bar{x}_{2}-\bar{x}$.
$d_{1} = \frac{n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})}{n_{1}+n_{2}}$ અને $d_{2} = \frac{n_{1}(\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1})}{n_{1}+n_{2}}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1}s_{1}^{2} + n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}} + \frac{n_{1}d_{1}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}$.
$\frac{n_{1}d_{1}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}$ પદનું સાદુંરૂપ આપતા $\frac{n_{1}n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}$ મળે છે.
આમ,$SD = \sqrt{\frac{n_{1}s_{1}^{2}+n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$.