(8 sec^2 theta + 2 cos^2 theta) का न्यूनतम मा | vedclass

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Question

(A) माना $f(	heta) = 8 \sec^2 	heta + 2 \cos^2 	heta$.अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करते हुए,धनात्मक वास्तविक संख्याओं

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$10$

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(A) माना $f(	heta) = 8 \sec^2 	heta + 2 \cos^2 	heta$.अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करते हुए,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$a + b$ का न्यूनतम मान $2\sqrt{ab}$ होता है।यहाँ,$a = 8 \sec^2 	heta$ और $b = 2 \cos^2 	heta$ है।$f(	heta) \ge 2 \sqrt{(8 \sec^2 	heta) \cdot (2 \cos^2 	heta)}$.चूंकि $\sec^2 	heta \cdot \cos^2 	heta = 1$,इसलिए:$f(	heta) \ge 2 \sqrt{16 \cdot 1} = 2 \cdot 4 = 8$.हालाँकि,हमें यह जांचना होगा कि क्या यह न्यूनतम मान प्राप्त करने योग्य है। $AM$-$GM$ में समानता तब होती है जब $a = b$,अर्थात $8 \sec^2 	heta = 2 \cos^2 	heta$.$4 \sec^2 	heta = \cos^2 	heta \implies 4 = \cos^4 	heta \implies \cos^2 	heta = 2$,जो असंभव है क्योंकि $\cos^2 	heta \le 1$ होता है।अतः,हम फलन $f(	heta) = 8(1 + 	an^2 	heta) + 2 \cos^2 	heta$ का मूल्यांकन करते हैं। चूंकि $	an^2 	heta \ge 0$,न्यूनतम मान $	an 	heta = 0$ पर प्राप्त होता है,अर्थात $	heta = 0^\circ$ पर।$	heta = 0^\circ$ पर,$f(0) = 8 \sec^2(0) + 2 \cos^2(0) = 8(1) + 2(1) = 10$.

$(8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta)$ का न्यूनतम मान किसके बराबर है?

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