theta in (0, pi / 2) के लिए cos theta + sin t | vedclass

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Question

(A) माना $f(	heta) = \cos 	heta + \sin 	heta + \frac{2}{\sin 2 	heta}$.माना $x = \sin 	heta + \cos 	heta$. तब $x^2 = 1 + \sin 2 	heta$, अतः $\s

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$2 + \sqrt{2}$

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(A) माना $f(	heta) = \cos 	heta + \sin 	heta + \frac{2}{\sin 2 	heta}$.माना $x = \sin 	heta + \cos 	heta$. तब $x^2 = 1 + \sin 2 	heta$, अतः $\sin 2 	heta = x^2 - 1$.चूँकि $	heta \in (0, \pi / 2)$, $x = \sqrt{2} \sin(	heta + \pi / 4) \in (1, \sqrt{2}]$.व्यंजक $f(x) = x + \frac{2}{x^2 - 1}$ बन जाता है।न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = 1 - \frac{4x}{(x^2 - 1)^2}$.$f'(x) = 0$ रखने पर, $(x^2 - 1)^2 = 4x$.$x = \sqrt{2}$ के लिए, $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{2 - 1} = \sqrt{2} + 2$.अंतराल $(1, \sqrt{2}]$ में जाँच करने पर, जैसे-जैसे $x$, $\sqrt{2}$ के करीब पहुँचता है, फलन का मान घटता है।अतः, न्यूनतम मान $2 + \sqrt{2}$ है।

$\theta \in (0, \pi / 2)$ के लिए $\cos \theta + \sin \theta + \frac{2}{\sin 2 \theta}$ का न्यूनतम मान क्या है?

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