फलन f(x) = int limits_0^2 e^{|x-t|} dt का न्य | vedclass

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Question

(A) $x \leq 0$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{t-x} dt = e^{-x}(e^2-1)$.$0 < x < 2$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^x e^{x-t} dt + \int \limits_x^2 e

Vedclass · Accepted Answer

$2(e-1)$

Vedclass · Answer

(A) $x \leq 0$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{t-x} dt = e^{-x}(e^2-1)$.$0 $x \geq 2$ के लिए,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{x-t} dt = e^{x-2}(e^2-1)$.$x \leq 0$ के लिए $f(x)$ ह्रासमान है और $x \geq 2$ के लिए $f(x)$ वर्धमान है।अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान अंतराल $x \in (0, 2)$ में स्थित है।अंतराल $(0, 2)$ में,$f(x) = e^x + e^{2-x} - 2$.समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:$e^x + e^{2-x} \geq 2 \sqrt{e^x \cdot e^{2-x}} = 2 \sqrt{e^2} = 2e$.इस प्रकार,$f(x)$ का न्यूनतम मान $2e - 2 = 2(e-1)$ है।

फलन $f(x) = \int \limits_0^2 e^{|x-t|} dt$ का न्यूनतम मान है

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