फलन $f(x) = x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}} + \frac{1}{1 + \sec^{-1} x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

एक बक्सा वर्गाकार आधार और खुले शीर्ष के साथ बनाया जाना है। यदि प्रयुक्त सामग्री का क्षेत्रफल $48 \, m^2$ है,तो बक्से का अधिकतम आयतन ........... $m^3$ है।

यदि $x>0$ है,तो $\frac{\log _{e} x}{x}$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए $f: R \to R$ को $f(x) = \begin{cases} k - 2x, & \text{यदि } x \leqslant -1 \\ 2x + 3, & \text{यदि } x > -1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $x = -1$ पर $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान है,तो $k$ का संभावित मान क्या है?

मान लीजिए $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
और
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
जहाँ,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ और वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए,$\prod_{i=1}^n a_i$ का अर्थ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ का गुणनफल है। मान लीजिए $m_i$ और $n_i$ क्रमशः अंतराल $(0, \infty)$ में फलन $f_i, i=1, 2$ के स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं की संख्या को दर्शाते हैं।
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ का मान है।
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ का मान है।
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें।

यदि $f(x) = x^2e^{-2x}, x > 0$ है,तो $f(x)$ का अधिकतम मान ...... है।