$\frac{1 + 2i}{1 - (1 - i)^2}$ का मापांक और कोणांक है

किसी भी पूर्णांक $n \geq 2$ के लिए,मान लीजिए $I_n = \int \tan^n x \, dx$ है। यदि $I_n = \frac{1}{a} \tan^{n-1} x - b I_{n-2}$ है,जहाँ $n \geq 2$,तो क्रमित युग्म $(a, b)$ किसके बराबर है?

$1+\frac{2}{4}+\frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}+\ldots \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए :

यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$ है,तो $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \ldots + \frac{1}{t_{2003}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

जब एक बैटरी को $16 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से जोड़ा जाता है,तो प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $12 \ V$ होता है। जब उसी बैटरी को $10 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से जोड़ा जाता है,तो वोल्टेज $11 \ V$ होता है। बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध ओम में ज्ञात कीजिए।

$0\,^{\circ}C$ पर $5\,g$ बर्फ को $100\,^{\circ}C$ पर भाप में बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा (कैलोरी में) की गणना करें।