$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ की,छड़ की लंबाई के लंबवत और एक सिरे से $L/4$ की दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?

मान लीजिए कि चित्र में $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या की एक समान वृत्ताकार डिस्क दिखाई गई है। डिस्क से $r/4$ त्रिज्या के दो छायांकित वृत्ताकार भाग काट लिए जाते हैं। इन कटे हुए भागों के केंद्र मूल डिस्क के केंद्र से $3r/4$ की दूरी पर हैं। शेष भाग का अक्ष $A$ (जो डिस्क के केंद्र से गुजरता है और उसके तल के लंबवत है) के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{x}{256} Mr^2$ द्वारा दिया गया है। $x$ का मान . . . . . . है।

$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाली एक समान वृत्ताकार डिस्क की उसके व्यास पर स्पर्श करने वाली और डिस्क के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक अर्धवृत्ताकार डिस्क का दिखाई गई अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण क्या है?

यदि कोई वस्तु $X-Y$ तल में स्थित है,तो लंब अक्ष प्रमेय के अनुसार:

$(a)$ लंब अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: $x-y$ तल में एक बिंदु $(x, y)$ की मूल बिंदु से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष से दूरी का वर्ग $x^{2}+y^{2}$ है)
$(b)$ समांतर अक्षों के प्रमेय को सिद्ध कीजिए। (संकेत: यदि $n$ कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र को मूल बिंदु माना जाए,तो $\sum m_{i} r_{i}=0$)