$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके ऐसी कितनी $4$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जिनमें अंक $1$ शामिल हो?

तीन स्कूल क्रमशः $2, 4$ और $6$ छात्रों को समर कैंप में भेजते हैं। $12$ छात्रों को $1, 2, 3, 4, 5, 6$ नंबर वाले $6$ कमरों में इस तरह समायोजित किया जाना है कि प्रत्येक कमरे में ठीक $2$ छात्र हों और दोनों एक ही स्कूल के हों। छात्रों को कमरों में समायोजित करने के तरीकों की संख्या है

$1, 2, 3$ और $4$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सात अंकों की ऐसी कितनी धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ हैं जिनके अंकों का योग $12$ है?

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं से सुमेलित कीजिए:

	List-$I$		List-$II$
$(A)$	$n$ भिन्न वस्तुओं में से $(n-r)$ वस्तुओं को न चुनने के तरीकों की संख्या	$(I)$	$1+n+{ }^n C_2+\ldots+{ }^n C_r$
$(B)$	$(n-r+1) \cdot{ }^n C_{r-1}$	$(II)$	$(r+1) \cdot{ }^n C_{r+1}$
$(C)$	$n$ भिन्न वस्तुओं में से कम से कम $(n-r)$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या	$(III)$	$r\left({ }^n C_r\right)$
$(D)$	$(n-r)\left({ }^{n-1} C_{r-1}+{ }^{n-1} C_r\right)$	$(IV)$	$2^n-1-n-{ }^n C_2-\ldots-{ }^n C_r$
		$(V)$	${ }^n C_{n-r}$

सही मिलान है:

$0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई सभी संभावित $8$ अंकों की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। चुनी गई संख्या के विषम होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $x$ और $y$ दो $2$-अंकीय संख्याएँ हैं,जहाँ $y$,$x$ के अंकों को उलटने पर प्राप्त होती है। मान लीजिए कि वे किसी धनात्मक पूर्णांक $m$ के लिए $x^2-y^2=m^2$ को संतुष्ट करती हैं। $x+y+m$ का मान है